浅谈导数在实际生活中的应用

  • 投稿Boye
  • 更新时间2015-09-23
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刘朝霞

(集宁师范学院数学系,内蒙古 乌兰察布 012000)

【摘 要】导数是微分学的重要组成部分,是研究函数性质、曲线性态的重要工具[1],也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。

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关键词 微积分;导数;应用

0 引言

导数(Derivative)也叫微商,是一种特殊的极限,它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度,[2]是微积分中重要的基础概念 是联系初等数学与高等数学的桥梁。在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用,在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用,同时,也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题,这些问题称之为优化问题,如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键,而利用导数就可以简捷地解决这些问题,从而真正解决我们的实际生活问题。

1 导数的概念及几何意义

2 运用导数求解优化问题的方法与注意事项

实际生活中的优化问题,如选址最佳、用料最省、利润最大等问题,本质上就是最值问题,这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系,而这些问题可以转化为函数问题,利用导数知识得以简捷的解决。

2.1 解决优化问题的方法

首先对现实问题进行分析,找出各个变量之间的关系,建立相对应的函数关系式,将实际问题转化为用函数表示的数学问题,再结合实际情况确定自变量的定义域,创造函数在闭区间上求最值的情景,通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值,获得所求函数的最大(小)值,最后将数学问题回归到现实问题,根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。

利用导数求解优化问题的思路如图1所示。

2.2 导数解决实际问题的注意事项

在求解实际优化问题时,要结合实际问题的背景,求得的解要满足现实意义,舍去不符合现实意义的值,若遇到目标函数在有限开区间、闭区间或无限区间内只存在一个驻点的情况,如果该驻点处的函数值是目标函数的极值点,则该点即为目标函数的最值点。

3 导数在实际生活中的应用

3.1 导数在材料利用问题中的应用

例1 圆柱形金属罐装饮料厂为节约用料降低成本,在保证所装饮料体积一定的情况下,如何设置饮料罐的高与底半径,才能使材料减小到最小?(假设圆柱形饮料罐的上下底厚度分别是侧面厚度的2倍)

分析:该例题属于“用料最省”的实际问题,关键是写出用料函数表达式,将实际问题转化为数学问题,运用导数知识探求目标函数的最值。

例2[4] 某零件生产车间欲将一批半径为R 的金属圆球切削成圆柱形零件,该批圆柱形零件的高为多少时,能使原料的利用率最高?

分析:该问题也是一个“用料最省”问题,当圆柱的体积最大时,材料利用率最高,关键是根据问题描述写出圆柱体体积V与圆半径R、圆柱高h的函数表达式,将其转化为数学问题,利用导数求解目标函数的极值,从而解决问题。

解:设圆柱形零件的底半径为r,高为h,则其体积为V=πr2h

材料利用问题、成本利润问题以及选址等问题都是实际生活中最常见的问题,通过对这些问题的分析,可以确定它们都是最值问题,可以利用导数知识分析、求解。

4 结论

解决实际生活中的优化问题是导数在实际生活中的主要应用,通常的求解方法是首先根据现实问题建立相应的数学模型,列出优化问题中相关量的函数关系式,然后利用导数的相关知识去分析、求解,最后将计算结果回归到实际问题,从而推出所研究问题的结论。

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参考文献

[1]徐映红.骆桦.微积分中导数的应用[J].北京电力高等专科学校学报,2010(8):44-45.

[2]张选群.医用高等数学[M].人民卫生出版社,2010.

[3]邢建平.例谈导数在经济活动中的应用[J].管理观察,2010(22):240.

[4]王丽珍.解决经济中的最优化问题[J].数学教育学报,2005,6(30):27-28.

[责任编辑:邓丽丽]